陈省身
（庆祝自然科学基金制设立15周年和国家自然科学基金委员会成立10周年的讲演）
张存浩先生要我讲点数学，这么短的时间，而数学这么大，只好举几个要点谈谈。
数学是什么？数学是根据某些假设，用逻辑的推理得到结论，因为用这么简单的方法，所以数学是一门坚固的科学，它得到的结论是很有效的。这样的结论自然对学问的各方面都很有应用，不过有一点很奇怪的，就是这种应用的范围非常大。
最初你用几个数或画几个图就得到的一些结论，而由此引起的发展却常常令人难以想象。在这个发展过程中，我认为不仅在数学上最重要，而且在人类文化史上也非常突出的就是Euclid在《几何原本》。这是第一本系统性的书，主要的目的是研究空间的性质。这些性质都可以从很简单的公理用逻辑的推理得到。这是一本关于整个数学的书，不仅仅限于几何学。例如，Euclid书上首先证明素数的个数是无穷的，这便是一个算术的结论。随着推理的复杂化，便有许多“深刻”的定理，需要很长的证明。例如 ，有些解析数论定理的证明，便需几十条引理。
最初，用简单的方法证明几个结果，大家很欣赏，也很重要。后来方法发展了，便产生很复杂的推理，有些定理需要几十页才能证明。现在有的结果的证明甚至上百页，上千页。看到这么复杂的证明，我们固然惊叹某些数学家高超的技巧和深厚的功力，但心中难免产生一些疑问，甚或有些无所适从的感觉。所以我想，日后数学的重要进展，在于引进观念，使问题简化。
先讲讲有限单群的问题。
1.有限单群
我们知道，数学的发展中有一个基本观念——群。群也是数学之中各方面的最基本的观念。怎样研究群的结构呢？最简单的方法是讨论它的子群，再由小的群的结构慢慢构造大一些的群。群中最重要的一种群是有限群，而有限群是一个难极了的题目，需要有特别的方法，特别的观念去研究。
命G为群，g∈G为一子群，如对任何g∈G-1g H g ∈H，则称H为正规的(nomal). 正规子群存在，可使G的研究变为子群H及商群G/H的研究。这样就有一个很自然的问题，有哪些有限的单群(simple group).单群除了它自己和单位元(identity)之外，没有其他的非平凡的正规子群(normalsubgroup). 数学上称其为简单群，其实一点也不简单。
有限群论的一个深刻的定理是Fei-Thompson定理：非交换单群的阶(数)(即群中元素的个数)是偶数。更不寻常的是除了某些大类(素数阶循环群Zp,交错群An(n>=5), Lie型单群)外，后来发现了26个零零碎碎的有限单群
