康托尔与集合论

康托尔与集合论

康托尔是19世纪末20世纪初德国伟大的数学家，集合论的创立者。是数学史上最富有想象力，最有争议的人物之一。19世纪末他所从事的关于连续性和无穷的研究从根本上背离了数学中关于无穷的使用和解释的传统，从而引起了激烈的争论乃至严厉的谴责。然而数学的发展最终证明康托是正确的。他所创立的集合论被誉为20世纪最伟大的数学创造，集合概念大大扩充了数学的研究领域，给数学结构提供了一个基础，集合论不仅影响了现代数学，而且也深深影响了现代哲学和逻辑。
 
    1．康托尔的生平
    1845年3月3日，乔治·康托生于俄国的一个丹麦—犹太血统的家庭。1856年康托和他的父母一起迁到德国的法兰克福。像许多优秀的数学家一样，他在中学阶段就表现出一种对数学的特殊敏感，并不时得出令人惊奇的结论。他的父亲力促他学工，因而康托在1863年带着这个目地进入了柏林大学。这时柏林大学正在形成一个数学教学与研究的中心。康托很早就向往这所由外尔斯托拉斯占据着的世界数学中心之一。所以在柏林大学，康托受了外尔斯特拉斯的影响而转到纯粹的数学。他在1869年取得在哈勒大学任教的资格，不久后就升为副教授，并在1879年被升为正教授。1874年康托在克列勒的《数学杂志》上发表了关于无穷集合理论的第一篇革命性文章。数学史上一般认为这篇文章的发表标志着集合论的诞生。这篇文章的创造性引起人们的注意。在以后的研究中，集合论和超限数成为康托研究的主流，他一直在这方面发表论文直到1897年，过度的思维劳累以及强列的外界刺激曾使康托患了精神分裂症。这一难以消除的病根在他后来30多年间一直断断续续影响着他的生活。1918年1月6日，康托在哈勒大学的精神病院中去世。
 
    2．集合论的背景
    为了较清楚地了解康托在集合论上的工作，先介绍一下集合论产生的背景。
    集合论在19世纪诞生的基本原因，来自数学分析基础的批判运动。数学分析的发展必然涉及到无穷过程，无穷小和无穷大这些无穷概念。在18世纪，由于无穷概念没有精确的定义，使微积分理论不仅遇到严重的逻辑困难，而且还使实无穷概念在数学中信誉扫地。19世纪上半叶，柯西给出了极限概念的精确描述。在这基础上建立起连续、导数、微分、积分以及无穷级数的理论。正是这19世纪发展起来的极限理论相当完美的解决了微积分理论所遇到的逻辑困难。但是，柯西并没有彻底完成微积分的严密化。柯西思想有一定的模糊性，甚至产生逻辑矛盾。19世纪后期的数学家们发现使柯西产生