普通高中数学新课程选修系列3的教学建议

二、系列3课程设置的原则与意图

随着时代的发展、社会的进步，人们逐渐认识到，数学无处不在，科学技术的发展需要数学，各行各业的生产需要数学，就是在日常生活中也离不开数学，现代社会越来越需要数学素养比较高的人才。学生在学习过程中，应当有更加开阔的视野。一个人只有具备了比较高的数学素养和比较开阔的视野，才能比较自觉地、有意识地运用数学的眼光，去观察、分析周围的世界，去主动地运用数学知识，处理和解决所遇到的问题。因此，为了使高中学生依据各自不同的兴趣和需要，了解更多、更多广的数学知识，具有更高的数学素养。《标准》设置了系列3（和系列4），明确指出，系列3（包括系列4）是为对数学有兴趣和希望进一步提高数学素养的学生而设置的，所涉及的内容反映了某些重要的数学思想，有助于学生进一步打好数学基础，提高应用意识，有利于学生终身的发展，有利于扩展学生的数学视野，有利于提高学生对数学的科学价值、应用价值、文化价值的认识。其中的专题将随着课程的发展逐步予以扩充，学生可根据自己的兴趣、志向进行选择。系列3课程设置的原则与意图很好地体现高中数学课程培养的具有可持续发展的深层次目标：为进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。具体是：1.通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程；2. 较深入提高数学地提出、分析和解决问题（包括简单的实际问题）的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力；3.进一步发展数学应用意识和创新意识，力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和作出判断；4. 促进提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度；5.培植具有一定的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义，从而进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观。

因此，系列3专题是定位于“满足学生的兴趣和对未来发展的需求，为学生进一步学习、获得较高数学素养奠定基础”而设置的，通过选修这些内容（系列3），学生可以对于数学的科学价值、应用价值和文化价值有更多的认识，以满足他们今后在工作和生活中对有关数学知识的需要。即便有些学生日后不是专门研究数学，也不从事科技理论或研发方面的工作，而是从事其他看似与数学关系不大的工作，例如，去做一些新闻、文学等方面的工作，选择学习这些内容也是非常有价值的。这符合全面实施素质教育、课改的总体目标和人才培养目标，必须给予充分的重视。

三、《标准》对开课、选课的建议

系列3的设置和实施是一个动态发展的过程。随着时代的发展，科技的进步，数学将渗透到社会生活的各个领域，它所发挥的作用将越来越明显。作为21世纪的现代公民，应当对于数学在各个领域中的作用有所了解。学生根据自己的条件和需要，尽可能地再多选择一数学内容学习，对于他们更好地认识周围的世界，更自觉地运用数学是非常必要的。因此，学校、老师和学生都应当重视系列3（包括系列4）开课、选课、教学和学习。

首先，系列3（包括系列4）课程的开设。学校应在保证必修课程，选修系列1、系列2开设的基础上，根据自身的情况，开设系列3和系列4中的某些专题，以满足学生的基本选择需求。学校应根据自身的情况逐步丰富和完善，并积极开发、利用校外课程资源（包括远程教育资源）。对于课程的开设，教师也应该根据自身条件制定个人发展计划。其次，学生的选课。学生的兴趣、志向与自身条件不同，不同高校、不同专业对学生数学方面的要求也不同，甚至同一专业对学生数学方面的要求也不一定相同。随着时代的发展，无论是在自然科学、技术科学等方面，还是在人文科学、社会科学等方面，都需要一些具有较高数学素养的学生，这对于社会、科学技术的发展都具有重要的作用。据此，学生可以选择不同的课程组合，选择以后还可以根据自身的情况和条件进行适当的调整。以下提供课程组合的几种基本建议：

1．学生完成10个学分的必修课程，在数学上达到高中毕业要求。

2．在完成10个必修学分的基础上，希望在人文、社会科学等方面发展的学生，可以有两种选择。一种是，在系列1中学习选修1-1和选修1-2，获得4学分；在系列3中任选2个专题，获得2学分，共获得16学分。另一种是，如果学生对数学有兴趣，并且希望获得较高数学素养，除了按上面的要求获得16学分，同时在系列4中获得4学分，总共获得20学分。

3．希望在理工（包括部分经济类）等方面发展的学生，在完成10个必修学分的基础上，可以有两种选择。一种是，在系列2中学习选修2-1，选修2-2和选修2-3，获得6学分；在系列3中任选2个专题，获得2学分；在系列4中任选2个专题，获得2学分，总共取得20学分。另一种是，如果学生对数学有兴趣，希望获得较高数学素养，除了按上面的要求获得20学分，同时在系列4中选修4个专题，获得4学分，总共获得24学分。

课程的组合具有一定的灵活性，不同的组合可以相互转换。学生作出选择之后，可以根据自己的意愿和条件向学校申请调整，经过测试获得相应的学分即可转换。

2004年秋季开始普通高中新课程实验的有广东、山东、宁夏、海南等4省(自治区)，2005年江苏省进入，2006年秋季我省（福建）、辽宁、浙江、安徽等省也将于2006年秋季起开始普通高中新课程实验。据笔者了解，已经实施普通高中新课程实验的省份，选课方案原则上按以上方案实施，这基本印证了《标准》建议的方案的可行性。

四、系列3内容设置的背景、价值及处理方式

系列3内容设置分两类：通过对具体问题分析，介绍数学思想.（包括：信息安全与密码；球面上的几何；对称与群；欧拉公式与闭曲面分类；三等分角与数域扩充）；通过对社会发展中有重大影响的人物、事件介绍，了解数学的历史、数学对人类思想发展影响，数学对社会发展的推动作用（包括：数学史选讲）。

1．数学史选讲

数学史对于学生了解数学的历史、应用和发展趋势，数学在人类文明发展中的作用，数学的思想体系，理解数学的本质，感受数学家的严谨态度和锲而不舍的探索精神，形成正确的数学观具有重要作用。例如，本专题第10个选题“算法思想的历程”向学生揭示了数学的发展促进了计算机的诞生，计算机的发展推动了数学的繁荣的本质。在处理上，本专题不追求整个数学或某一数学分支发展历史的系统性和完整性，而是通过学生容易理解的内容，用生动活泼的语言和喜闻乐见的事例呈现数学发展历史的一些过程，使学生体会数学的重要思想和发展轨迹。突出所蕴涵的思想性，突出数学发展的轨迹，突出数学家刻苦钻研的科学精神。宜采用专题讲座、课外数学活动或兴趣小组活动等方式。

2．信息安全与密码

现代数学发展的一个重要特点是数学的应用获得了飞速发展，数学在生命科学、信息科学、计算科学等方面的应用都有了很大发展。尤其是数论和代数在现代信息理论、信息安全与密码中的应用是其中一个典型的例子。随着通信活动的多样化，保密通信要解决的安全性问题更加多样化，不仅是双方通信的加密和解密，还需要解决其他问题。在长期探索信息安全的过程中，人们发展需要寻找一种密钥体制，即使加密密钥E公开，别人也很难找到相应的解密密钥D，这样我们就可以得到一公开密钥的体制。特别地，在公开密钥体制中，所有通信者都把他们的加密方式公开，写在通信本上，所有的人都能用这种加密方式发送信息，就会被人利用发送假情报，这就需要了解公开密钥体制的签名方法。本专题介绍和学习初等数论的某些知识（如整除与同余），以及数论在现代信息安全中的某些重要应用，使学生了解数学在信息科学中的应用，提高对数学的鉴赏力和学习数学的兴趣。例如，学习“密码学”，了解它是一门古老而年轻的学科，有古典密码学（手工作坊“RSA 体系”）、信息论介入（ 成为一门科学“DH 密钥交换”）、现代密码学（公钥密码体系“ECC 体系”）三个阶段和体制，掌握信息安全密码体系和使用方法，提高安保意识，构建安保素质。在处理上，本专题宜深入浅出介绍相关内容（如通信技术的发展等）的历史与背景，帮助学生理解信息安全中需要解决的问题以及如何利用公钥体制解决这些问题，体会大数分解和离散对数等思想方法在现代信息安全中所起的作用。例如，在条件允许的情况下，教师应引导学生利用计算机对下列问题进行思考，编制程序、上机实验。(1)用辗转相除计算最大公约数；(2)解同余方程 ；(3)判断大整数是否为素数（用Wilson定理）；(4)大数分解。

3．球面上的几何

我们生活的地球表面十分接近于一个球面。在实际生活中，球面上的几何(简称球面几何)知识有着广泛的实际应用。例如，大地（天体）测量、航空、卫星定位等方面均需利用球面几何的知识。因此,我们要真正了解我们生活的空间，仅靠平面几何知识是不够的，了解球面几何的内容非常重要。在理论上，球面几何是一个与欧氏平面几何不同的几何模型，是一个重要的非欧几何的数学模型，球面几何在几何学的理论研究方面，具有特殊的作用。在处理上，本专题宜通过欧氏平面几何和球面几何的类比，得到球面几何的相关结论，促使学生思考平面几何模型与球面几何等非欧几何模型的差异,理解球面几何的基本事实，感受另一种几何模型平面几何与球面几何的类比。球面几何有很大的实用价值，应尽量用实际例子来说明几何概念产生和理论推导的过程，使学生切实体验和感受到球面几何的实际应用价值和理论上的意义。同时，球面上的集合涉及大量的空间图形，应积极发挥多媒体技术的作用，增强立体图形的直观性和真实感受。例如，平面上两点的距离、三角形内角和与球面上两点的距离、三角形内角和类比，开拓学生的数学视野，使学生了解一些非欧几何模型，对学生掌握现代数学思想方法有很大帮助。

4．对称与群

对称是自然界一种常见的重要的现象、一种十分重要的性质，也是数学研究的一个重要内容。群是刻画对称性的数学概念。例如,轴对称、中心对称。对称性概念无论在宏观上还是在微观上都是现代科学所研究的重要对象。微观世界基本粒子的对称性决定了基本粒子的运动方式，代数方程的对称性决定了方程的解的性质，信息的对称性已成为现代经济学研究的重要对象。理论方面，群论是现代数学的重要研究对象，是研究对称性的一个重要数学工具。在处理上，本专题宜从丰富的平面图形对称变换的实例入手，了解变换群的概念，学习群的表达方法，学会求出一些比较简单的几何图形的对称群，并进一步体会群在研究事物对称性质和研究其他数学对象中的重要作用。由浅入深，逐步深入，选择的教学实例尽可能地使用层面宽，使学生感受到对称与群无处不在，应用层面要兼顾日常生活所能接触到的和科学理论所关注的方方面面。例如，对称图形、刚体运动的性质用传统的方法不好刻画、为了用数学方法刻画这些性质，需要引入变换的概念,用群来刻画。学习晶体分类定理和方程的伽罗瓦定理这两项成果可以使学生感受现代数学的研究方法和特点。

5．欧拉公式与闭曲面分类

小学、初中已学习过一些分类：平移、旋转、平面运动、反射、全等、位似、伸缩、相似变换，以及对平面图形分类。对几何图形进行分类，是几何学的重要内容，揭示在不同变换下几何图形的不变性质或不变量是研究这类问题的基本思想方法。学生通过学习本专题，能够很生动地感受到初等几何与现代数学分支——拓扑学之间的密切关系，同时还能够体会不同的几何学的特点是在不同的几何变换之下研究几何对象的不变性质问题，而这一观点是现代几何学的重要纲领。例如，三角剖分是研究图形拓扑性质的重要思想方法，拓扑变换是一个非常抽象的概念，它们在现代数学中具有重要的作用。在处理上，本专题宜通过已学过的变换的复习，分析哪些是变换不变量。探索欧拉公式，通过运用欧拉公式对多面体进行分类（不同类型多面体的有不同的欧拉公式），体会欧拉示性数等重要的拓扑不变量,并利用它们对曲线、曲面进行分类。

6．三等分角与数域扩充

几何作图在日常生活、工农业生产及科学技术中都有重要的作用。小到家具、房屋的平面图，大到飞机、航天器的图形设计，都少不了要进行几何作图，从古到今，作图的工具各种各样，而现代计算机图形学的产生和发展，进一步发展了作图的手段，提高了作图的复杂性也丰富了作图的种类。例如古希腊数学中三大几何作图难题，即；化圆为方、立方倍积、三等分任意角。这些问题在历史上曾经困扰古人很长时期，解决方法具有重要意义（利用反向思维解决，如何说明一件事不可能是人类思想史上的重大事件），直到上个世纪出现近世代数，才被证明用直尺与圆规作图是不可能的，并给出尺规作图可行性的—般理论。又如，“第五公设”的证明、“代数方程的根式解”等问题。解决这些问题涉及到代数扩域的理论，因而也是用代数方法解决几何问题的典型例子。也就是说，作图问题代数化同样是解决上述问题中的重要思想方法。学生通过本专题的学习，既了解了古代数学的著名作图问题，又通过对问题解决过程的了解，体会蕴涵在其中的重要的数学思想方法，这些思想方法对于其他问题的思考也是十分重要的。同时，解决问题所牵涉到的数域及数域扩充的概念和方法也会拓宽学生的视野。在处理上，本专题宜通过具体操作体会数域扩充的过程。让学生认识到数学的作用不限于解决问题，在形成人类正确的思想方法和世界观方面数学同样发挥着重要的作用。

参考文献资料：

1、《普通高中数学课程标准(实验) 》中华人民共和国教育部制订 人民教育出版社2003年7月第2次印刷

2、《积极稳妥推进高中数学课程改革》人民教育出版社中教室   章建跃

3、《高中数学选修3、4系列课程设计思考》  首都师范大学 王尚志     2004年5月15日

4、《普通高中数学课程标准(实验)解读》  江苏教育出版社  主编/严士健  张奠宙  王尚志  2004年6月第2次印刷

5、广东省普通高中新课程选修模块开设指导意见

6、江苏省普通高中新课程选修模块开设指导意见

7、深圳中学选课指导说明

2006年3月5日