高中新课程立体几何研究
张劲松
（三）关于夹角与距离
《标准》在选修2-1 “空间向量与立体几何”中明确提出：“能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。”。
角度是“立体几何”中的一种度量。异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面所成的角等内容在“点、直线、平面之间的位置关系”必须介绍，穿插在相关内容之中，尽管在“点、直线、平面之间的位置关系”中没有明确提到。
距离是“立体几何”中的另一种度量。点到直线的距离、点到平面的距离、平行直线之间的距离、异面直线之间的距离、直线与平面之间的距离、平面与平面之间的距离的本质是两点之间的距离。而两点之间的距离是以这两点为起点和终点的向量的模或长度。这样，空间中的距离问题就转化为向量的模或长度问题。
可见，用空间向量及其运算，特别是数量积运算，是处理夹角和距离问题的首选方法。
（四）关于“三垂线定理及其逆定理”
很多教师都说，整个高中立体几何就是“三垂线定理”。尽管说得过分些，但从另外一个角度说明，“三垂线定理”在整个高中“立体几何”中的地位和作用。确实，“三垂线定理”是整个立体几何内容的一个典型代表，处在整个立体几何知识的枢纽位置，综合了很多知识内容：直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直和平行。在数学2“点、直线、平面之间的位置关系”中虽然没有明确提到“三垂线定理”，但在选修2-1“空间向量与立体几何”中提到“能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）”。按照这种提法，教材中必须明确提出“三垂线定理”，学生应该知道这个定理。至于放在《数学2》中，还是放在《选修2-1》中，则是另外一个问题。实际上，考虑到目前“点、直线、平面之间的位置关系”一章仅有10课时，而且直线与平面、平面与平面平行和垂直的判定定理仅仅要求归纳得出，在《数学2》中没有严格的证明。我们认为，“三垂线定理”放在《选修2-1》中比较合适，而且只要求了解其内容，并用向量方法证明，不要求运用此定理证明有关的命题。
有了“三垂线定理”，“三垂线定理的逆定理”也就顺理成章了，无非是斜线与斜线在平面内的射影的位置互换了一下。
在教材实验过程中，教师非常关注“三垂线定理及其逆定理”的教学。一方面是它在过去整个高中“立体几何”中的地位和作用；另一方面，它也是过去高考的核心内容，目前的高考试卷中，如果是用综合法处理的“立体几何”方面的大题，都是关于“三垂线定理及其逆定理”的。但是，随着空间向量及其运算引入“立体几何”内容中，用空间向量及其运算的向量方法（或坐标方法）处理有关垂直和平行问题成为一种普适的方法，用“三垂线定理及其逆定理”的综合方法退居其次。高中数学新课程中强调用空间向量及其运算处理立体几何中的角度、距离，淡化综合方法处理角度问题和距离问题。
（五）关于球
目前《标准》只要求认识球的结构特征，了解球的表面积和体积的计算公式（不要求记忆）。由于在系列3中的“选修3-3 球面上的几何”专门讲述涉及球以及球面的几何，因此现在新课程中“立体几何”部分不涉及球面上距离等内容，对球的表面积和体积公式也不要求推导，教学时一定不要增加这方面的内容。
二、怎样把握这部分的教学要求？
由于《标准》把“内容与要求”合在一起写，对教学要求的把握相对来说，容易一些。但在教材编写和教材实验中，也存在不少问题。
（一）棱柱、棱锥、棱台这些空间几何体要求到什么程度？
按照《标准》的要求，教材首先通过实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征。结构特征是这些空间几何体的本质特征，我们需要抽象概括出这些空间几何体的概念。以棱柱为例，抽象出它的本质特征后，要不要讲斜棱柱、直棱柱、正棱柱以及棱柱的一些性质？由于《标准》在选修2-1“空间向量与立体几何”中有“参考案例”例1，例1中明确提出“直三棱柱……”，所以必须讲。至于放到哪部分内容中，下面我们谈到结构体系时，会详细阐述。棱锥也有类似的问题，正棱锥怎么讲？在何处讲？
（二）关于三视图与几何直观能力、空间想象能力
视图和投影是《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》新增的内容，作为与初中数学课程内容的衔接，“空间几何体”包括视图和投影的内容。要求到什么程度？
1．三视图是不是要求到“长对正、高平齐、宽相等”？与初中阶段的相关内容如何衔接？
2．对于平行投影和中心投影下的视图与直观图，如果只是“通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图和直观图，了解空间图形的不同表示形式。”，是不是要求太低了？
3．如果不明确给出直棱柱、正棱柱、斜棱柱等的概念，棱柱的三视图能否讲清楚？因为棱柱的三视图涉及棱柱的高等概念。
增加三视图的有关内容，对于进一步培养学生的空间想象能力和几何直观能力具有重要的促进作用。过去的“立体几何”内容相对来说，这方面比较薄弱。三视图的有关内容在一定程度上改善了这种状况。对图形既需要直观地感觉，也需要思辨地论证。我们要求学生能够画出空间几何体的三视图和直观图，能够从空间几何体的直观图画出它的三视图，从三视图画出它的直观图等等。使得学生能通过“实物模型—三视图—直观图” 这样一个相互转化的过程认识空间几何体。这些数学活动是培养学生空间想象能力的有效途径。只有这样，立体几何的教学目标才更加全面。
基于以上原因，我们认为，教师和学生应该知道正视图、侧视图、俯视图的“摆放”位置，以及“长对正、高平齐、宽相等”的要求，但尺寸、线条、具体怎么画不作严格要求。这部分内容是初中“投影与视图”的基础上的发展。
一个现实情况是，“空间几何体”8个课时的容量，留给“空间几何体的三视图和直观图”仅有2个课时的时间，很多内容无法展开。要想说的很清楚，势必冲破2个课时的限制，这显然违背《标准》的要求。因此，很多内容“点到为止”，要求不高，像上面提到点在平面的射影、空间几何体的高，平行投影和中心投影下的视图和直观图等几个问题，必须明确提到，但要求较低。
