一元二次不等式的解法（1）

 

知识目标：熟练掌握一元二次不等式的两种解法；理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函数之间的关系.

 

能力目标：培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解决数学问题的能力.

 

德育目标：通过等与不等的对立统一关系的认识，对学生进行辨证唯物主义教育.

 

情感目标: 在自主探究与讨论交流过程中，培养学生的合作意识和创新精神.

 

　　教学重点:一元二次不等式的解法.

 

　　教学难点:一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系.

 

 

(一)引入新课.

 

问题1：(幻灯片1)画出一次函数y=2x-7的图象，填空：

 

　　2x-7=0的解是            .不等式2x-7>0的解集是           .不等式2x-7<0的解集是           .

 

请同学们注意,一元一次方程、一元一次不等式和一元一次函数有什么关系?(“三个一次”关系).

 

从上面的特殊情形引导学生发现一般的结论.

 

(幻灯片2):一般地，设直线y=ax+b与x轴的交点是(x₀,0),就有如下结果.

 

 

一元一次方程ax­+b=0的解集是{x|x=x₀}

 

一元一次不等式ax+b>0(<0)解集

 

(1)当a>0时,  一元一次不等式ax+b>0的解集是{x|x>x₀};

 

一元一次不等式ax+b<0解集是{x|x<x₀}；

 

(2)当a<0时，一元一次不等式ax+b>0解集是{x|x<x₀}；

 

一元一次不等式ax+b<0解集是{x|x>x₀}.

 

(学生看图总结,教师在幻灯片中给出结果).

 

问题2：(幻灯片3)（2004年江苏省高考试题）二次函数y=ax²+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表：

 

 

　　则ax²+bx+c>0解集是              .

 

引导学生运用解决问题1的方法,画出二次函数y=ax²+bx+c的图象求解.并请学生说出不等式ax²+bx+c<0的解集和方程ax²+bx+c=0的解集,同时注意一元二次方程、一元二次不等式和二次函数有什么关系?(“三个二次”关系).

 

(二)讲授新课.

 

1.问题2的解决表明,一元二次不等式的解集可以画出对应二次函数的图象写出.

 

　　　请同学们解下面两组题:

 

题组1（课本19页例1、例2）

 

（1）解不等式2x²-3x-2>0

 

（2）解不等式-3x²+6x>2

 

学生根据问题2的方法画图求解,教师巡回指导,提醒学生注意掌握画二次函数图象的要领和方法.

 

2.题组2（课本19页例3、例4）

 

（1）解不等式4x²-4x+1>0

 

（2）解不等式-x²+2x-2>0

 

学生不难想到,这两题的方法和上面完全相同,教师在巡回指导中及时提醒学生注意和上面两题的不同,由图象写出解集是难点,必要时教师在黑板上画出图象给予一定的提示或讲解.

 

3.至此我们掌握了用图象法来解一元二次不等式.当然我们可以仿照前面探讨“三个一次”关系的做法来探讨这里“三个二次”的关系.

 

引导学生分三种情况(△＞0,△＜0,△＝0)讨论一元二次不等式ax²+bx+c＞0(a＞0 )与ax²+bx+c＜0(a＞0)的解集.

 

 

三个二次	△>0	△=0	△<0
y=ax2+bx+c(a>0)   图 象
ax2+bx+c=0(a>0)根	x=x1 或x=x2	x1=x2=	无 解
ax2+bx+c>0(a>0)   解 集	{x|x<x1或x>x2}	{x|x≠  }	R
ax2+bx+c<0(a>0)   解 集	{x|x1<x<x2}	φ	φ

 

请同学们思考,若a＜0,则一元二次不等式ax²+bx+c＞0与ax²+bx+c＜0的解集又将如何?课后仿上表给出.

 

4.由上面的例题和总结我们发现,一元二次不等式的解集其实就和二次项系数、二次方程的根以及不等号有关,进一步引导学生总结解一元二次不等式的一般步骤:先把二次项系数化成正数,再解对应二次方程,最后根据方程的根的情况,结合不等号的方向写出解集(可称为“三步曲”法).

 

(四)课堂练习.

 

1.课本P_19～20练习1～3.

 

2.(幻灯片5)题组3：（1）x²+x+k>0恒成立，求k的取值范围.

 

（2）ax²+bx+c>0（a≠0）恒成立的条件为            .

 

ax²+bx+c≤0（a≠0）恒成立的条件为            .

 

（3）（x-a）（x-a²）<0（0<a<1）的解集是              .

 

课本P₁₉练习1的四个小题由4位同学板演,教师通过学生板演发现问题,纠正错误,规范书写过程.

 

课堂练习1、2是两组有梯度的练习题,练习1面向全体学生,练习2供程度较好的学生进一步发展提高.

 

(五)课时小结.

 

1.“三个二次”关系.

 

2.一元二次不等式的两种解法----图象法和“三步曲”法.

 

(六)课后作业.

 

1.课本P₂₀习题1,3,5,6.

 

2.补充练习：1.若不等式 对一切x恒成立，求实数m的范围.

 

解析：∵x²-8x+20=(x-4)²+4>0, ∴ 只须mx²-mx-1<0恒成立，即可：

 

　　　　　　①当m=0时，-1<0,不等式成立；②当m≠0时，则须

 

     　　　　解之：-4<m<0.由（1）、（2）得：-4<m≤0.

 

2.设不等式ax²+bx+c>0的解集是{x|a<x<β}(0<a<β),求不等式cx²+bx+a<0的解集.

 

分析：由题∴cx²+bx+a<0的解集是{x|x< 或x>}．

 

 

课堂中学生可能提出的意外问题设想:

 

1.学生可能提出的问题:不等式(x+2)(x-3)＜0能不能转化为不等式组或求解?

 

2.学生在解题中可能出现的问题:把不等式(x-1)(x+2)＞1转化为{去解.

 

 

 

 

本节课的所有内容以题组的形式展现给学生,学生始终在解题中探究,在解题中发现,学生参与教学的全过程,成为课堂教学的主体和学习的主人,而教师时刻关注学生的活动过程,不时给予引导,及时纠偏.

 

复习引入的问题1是学生已经熟知的一元一次不等式、一元一次方程及一次函数既“三个一次”的关系问题,旨在为后面探讨“三个二次”的关系提供方法和思路.问题2是课本中的材料,以高考题的形式出现可以引起学生更大的关注和兴趣.教材中的四个例题让学生完全按照解决问题2的方法自己去解,教师只在必要的时候提醒学生应该注意的问题,或学生遇到困难时给予引导.完成四道例题后,学生对一般一元二次不等式的解法和“三个二次”的关系已经有一定的理解,然后由特殊到一般,引导学生总结规律,形成一般结论.最后学生再利用自己的总结去完成课堂练习,刚刚形成的方法与结论可以进一步巩固和深化.例题、练习和作业的设置由浅入深,并且补充部分题目照顾各个层次的学生.

 

一元二次不等式的求解过程,也是函数与方程、数形结合、分类讨论及类比等数学思想方法的综合应用过程,在教学中提醒学生注意深刻体会,也在补充题目中逐步加以渗透.