有不少学者研究儿童在乘除法概念的发展。有的偏重儿童在乘除结构的理解，如Vergnaund,G.(1983,1988)，Nesher,p.(1988)，Schwartz,J.L(1988)；有的偏重儿童数数与解决问题的策略，如Steffe,L.P.(1988)，Kouba,V.L.(1989)；也有的仿生研究影响儿童解题难度的因素，如Greer,B.(1992)。这些研究对于乘法的教学都很有价值。
一、儿童解决乘除问题之策略的发展
新知识总是建构在认知识的基础上，儿童发展出乘的观也应该有共谁知识结构的基础。Steffe研究儿童数数字能力的发展多年，他认为乘法的概念是在数东西先是一个一数，以一个为单位，然后逐渐发展出几个一数，有了几个一数的能力，乘法的概念就萌发了。Steffe（1988）报告一个儿童以三个一数解决乘法问题的实例。儿童 Tn被问道：“三人一数，灵敏到十八，要数几次？他把右边三个手指挤在一起，口中念3，又挤左边的三个手指，口中念6，又回头挤右边手指，数9，如此反覆数数而得答案六，等他排了每排三个积木共九排之后问他共人多少积木，他以数数得到答案为27。教师问他如何知道的？他回答说三个一数！3，6，9，12，15……，又问他如何记住数了几遍，他的回答是：“四、12，五，15，六，18，七，21，八，28，九，27！果然数数是Tn建构其乘法概念的最自然基础。
Kouba,V.L（1989）研究低年级解决乘法问题的策略，发现儿童的计算策略有五种，这五种策略形成发展顺序，国小一二年级大体只使用每一种。
（一） 直接表 ？ 法（direct representation）
儿童顺著题意拿出具体物然后点算。
例：每个本子要放2支花，3个本子要放几支花？
儿童摆出3个集合的{◎◎} {◎◎} {◎◎}
花片再数全部的个数1 2 3 4 5 6
（二）双重数数法（double counting）
只有二、三年级儿童偶而用此策略与除法。
儿童用具体物摆出被除数的集合，数出除数的个数，同时计算已数了几个部分集合。
例：1个人需要2支花，6支花可以分给几人？
◎◎ ◎◎ ◎◎
1 2 3 4 5 6
（1） （2） （3）答，可以分给3个人。
儿童先数1，2，另外在数一个（1），数3，4，时另外数一个（2），数5，6，时另外数一个（3）他在数（1）（2）（3）时可能用手指或花片来帮助记忆。
（三） 过渡型数数法（transitional counting）
儿童利用两个一数或五个一数法计算答案。
例：1支笔5元，6支笔要买几元？
5，10，15，20，25，30，答30元
这个策略就是前述Steffe所谓以五为单位的数数策略。
（四） 加或减（additive or subtractive）
儿童用连加或连减的策略来计算，例如前题儿童的计算法是：5加5是10，10加5是15，15加5是20，20加5是25，25加5是30
（五） 记诵简洁傅（recall or subtractive）
儿童利用九九乘法表的规则计算以求得答案，以前题为例，儿童利用乘法表的知识：5×6=30，以求得答案。
二、乘法结构的分析的教学效果
一个结构包含有构成元素与其间的关系，乘法结构当然包含著关系。我们一般认为所谓关系是前后、左右、大小、小下等等空间和时间的关系，其实所有的动词都代表关系；我『恨』你，代表我与你之间的一种关系，3『加』5代表发生在三和五之间的关系，理论上，若能了解问题情境的关系就能解题。Sellke,Bdhr.& Voelker(1991)依前引述的Vergnaud的理论实施实验教学。他们提供『资料表』作为中介的表征，以帮助学生指认问题中各量数间的关系，而这种关系的理解有助于数句或方程的写作。例如下题：奶酪每磅2.39元，
（a） 奶酪的买钱 奶酪的磅数
2.39 1
？ 0.923
（b） 奶酪的买钱 奶酪的磅数
×2.39
×2.39
(c) 奶酪的买钱 奶酪的磅数
2.39 1
×0.923 ×0.923
? 0.923
图11.6策源地问题的资料表（取自Sellke et al.1991）
Sellke等人发现使用资料表使儿童能分析问题中各量数的关系，增进其学习成绩，他们以七年级（图一）学生107人为对象，分成等组的实验班三班65人，控制组的班级两班42人，两组爱试者实验前的数学居就相同，控制组教学法依据Fischbein et al.(1985)的理论，认为儿童对于乘除法有一直觉的模式，即：乘法是连加，而除法有等分除与包含除，所以教学的过程先用适合于连加的简单整数，吻合儿童的直觉模式，然后逐渐改变各种数为不吻合此模式表示各量数的关系。前一种最数吻合儿童的直觉模式，这类问题认为不达反限制的问题，后一种则认为达反限制的问题，在这两种总算中上，实验组都显著优于控制组，两组成绩的比较如下表：
表11.2使用乘法结构分析教学实验的结果
实验组 控制组 t(105)
期中评量 平均（标准差） 平均（标准差）
达反限制的问题 4.48(1.70) 0.93(1.240 11.69**
不达反限制的问题 5.60(0.89) 4.95(1.19) 3.26*
实验后评量 平均（标准差） 平均（标准差） |
达反限制的问题 8.02(1.89) 5.05(2.11) 7.58** |
不达反限制的问题 8.50(1.06) 7.05(1.65) 5.63*
注：*号者p<.01,**号者p<.001
三、量数性质与计算对于乘除法的效应
Bell等人（1989）以10岁、12岁、14岁、17-19岁，大学生心理系学生、师院学生为对象，研究他们在解决乘法与除法问题的能力。所用的问题含有不同情境脉络，如速率、价格、货币兑换等等，所用的数字有正数（I）、大于1的小数（D）、小于1的小数（d），在乘法方面，问题类型有I×1、D×I、d×I,I×D,I×d,D×d,d×d等八种，在前三种（乘数为整数）的问题，除第一年龄组之外，成功率在75%以上，在乘数为大于1之小数时，成绩也还不错，第二组以上的成功率605以上，但在乘数为小于1之小数时，各组成功率都不高，最高年龄组的成功率在50%左右，若从问题之情境脉络来分析，价格问题较佳，成功率在75%左右，速率问题其次，成功率在72%左右，货币兑换罗难，成功率在60%左右，若从被乘数的数字性质来看，整数、大于一的小数、小于一的小数，对于成功率的影响不大，影响成绩最大者为乘数的数字性质，乘数为整数的成功率高达90%，而大于一之小数者为80%左右，乘数为小于一之小数者成功率仅为42%左右。所以问题之难易与乘数之性质有关，这种为乘数效应，在除法方面影响问题难易也是问题中的数字因素，最容易的问题是被除数大于除数的问题：26.85/9、25/8、1144/4.51,其次是32/5.69、 5.87/0.43,再次为8/0.77，最难的是：0.39/0.89,7/23。
从这些研究里可以发现，乘数匪为整数，或者大于五的小数（可以当作整数看）的问题比较容易，乘数若为小于一的小数就难了，除法则除数应该比被除数小，，这些现象，依Greer(1992)的解释，是由于受试者对乘法有了错误的概念儿童在整数乘法与除法的经验时，做了一些归纳，（1）乘法使结果变大而除法使结果小。（2）除法总是大的数除以小的数。小于一的小数和为乘数使用结果变小，若为除数则使得结果变大，这是与他们的知识结构不相容的东西，所以他们遇到这类问题时就会中以歪曲误解，如
兹将上面讨论之重要概念整理成简表以下方便比较，表11.3中各栏内的内容大致也有难易的顺序，排在上面的较为容易。
启蒙教材可以选用第一排的情境，连算结构等等的问题，例如：
一辆三轮车有3个轮子，5辆三轮车有几个轮子？
在这个问题里，这个问题的连算结构是量数的同构，表示（1组）→3轮，（5组）→？轮，从量的性质来看，3（轮/辆）即每辆有3个轮子是个内涵量，5组是外延量，所以这是一个内涵量×外延量=外延量的问题。题中的数字都是整数，所以是I×I的问题。这是最简单的问题，儿童解决这个问题的策略，依其能力之不同可能有五种方法。
由上面所引述的研究所见，影响儿童在乘除法概念形成的因素，不只一端，在低年级，儿童是否能形成以大于一之集合为数数单位可能是影响因素。但是乘法与除法受教学和文化因素的影响也很大，一个社会的文化与用语会影响儿童对于乘法结构的理解与偏好（ Nesher,1988）。问题的情境脉络也是影响在低年级所形成的观念，如乘法使结果变大、被除数比除数大等等，在低年级时的教材是对的，但在较复杂的乘法问题中就变成错误概念了，但是他们固执着他们旧有的知识结构，使得他们不能适应于新问题类型数字类型，亦即他们未有适当的调适，当然还有其它因素等发现，教学时这些因素都是应该注意的因素。
问题情境 | 连算结构 | 量的性质 | 数的性质 | 计算策略 |
等组 等量 速率 单位互换 倍数比较 总份/整体 倍数改变 叉积 面积 量的积 | 量数的同构 量数的乘积 多生比例 | 内涵量×外延量=外延量 外延量力而为外延量=外延量 内涵量×内涵量=内涵量 | I×I D×I d×I I×D D×D I×d D×d d×d I是整数 D是大于1的小数 d小于1的小数 | 直接表示法 双重数数法 几个一数法 利用加与减 记诵乘法表 |
（摘自《国小数学科教学研究》刘秋木著，台北市，五南图书出版公司。）
